Question

设函数f（x）=

3-2x

3+2x

（x∈R）．
（1）求函数y=f（x）的值域和零点；
（2）请判断函数y=f（x）的奇偶性和单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的值域

专题：高考数学专题,函数的性质及应用

分析：（1）先对已知函数化简，求函数f（x）的值域，然后令f（x）=0可求函数的零点；
（2））利用函数的奇偶性和单调性定义来加以证明．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3-2x

3+2x

=-1+

6

3+2x

，
∵2^x＞0，
∴3+2^x＞3
∴0＜

1

3+2x

＜

1

3

，
∴0＜

6

3+2x

＜2，
∴-1＜f（x）＜1，
故y=f（x）的值域为（-1，1）；
令f（x）=0，即

6

3+2x

=1，
解得x=log₂3，
∴y=f（x）的零点为x=log₂3，
（2）对任意的x∈R，
f（-1）=

3-2-1

3+2-1

=

5

7

≠±

1

5

=±f(1)，
故y=f（x）是非奇非偶函数，
∴对任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

6

3+2x1

-

6

3+2x2

=

6(2x2-2x1)

(3+2x1)(3+2x2)

，
∵3+2x1＞0，3+2x2＞0，2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
故y=f（x）在定义域R上是减函数．

点评：本题考查了函数的值域，零点，奇偶性和单调性，属于基本知识，应该掌握熟练．