Question

如图甲，矩形ABCD，（AB＞AD）的周长是24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，得到图乙，设AB=x，

（1）设PC=a，试用x表示出a；
（2）把△ADP的面积S表示成x的函数，并求出该函数的最大值及相应的x值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数解析式的求解及常用方法,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）本题充分利用勾股定理，找出a与x的数量关系；（2）用三角形面积公式，表示出面积的函数，再利用基本不等式求出面积的最大值．

解答： （1）∵AB=x，矩形周长为24，
∴AD=12-x，AB折过去后，PC=a，
则PA=a，DP=x-a，在Rt△ADP中，（12-x）²+（x-a）²=a²
解得：a=

x2-12x+72

x

．
（2）DP=x-a=

12x-72

x

．
所以Rt△ADP的面积S=

1

2

(12-x)•

12x-72

x

=6×

-x2+18x-72

x

=6[-(x+

72

x

)+18]．
由

0＜x＜12 0＜a＜x

，得：6＜x＜12．
由基本不等式，得：x+

72

x

≥2

72

，当且仅当x=6

2

取等号．
由不等式的性质，得：S≤6[-2

72

+18]=108-72

2

综上，当x=6

2

时△ADP的最大面积是108-72

2

．
故本题答案为：（1）得：a=

x2-12x+72

x

；（2）当x=6

2

时，△ADP的最大面积是108-72

2

．

点评：本题属于应用题，考查了基本不等式的知识和数学建模的能力，解题时要注意不等式取等号的条件．对学生的能力要求较高，属于中档题．