Question

在数列{a_n}中，a₁=255，

1

1+an+1

-

1

1+an

=

1

256

（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅱ）设bk=ka2k（k∈N^*），记数列{b_k}的前k项和为B_k，求B_k的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设c_n=a_n+1，将递推公式转化为与c_n相关的式子，进而求出数列的通向公式．
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项，利用等比数列求和公式即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）设c_n=a_n+1，则数列{

1

cn

}是一个等差数列，
又

1

c1

=

1

256

，d=

1

256

．
∴

1

cn

=

1

256

+

1

256

(n-1)
=

n

256

∴c_n=

256

n

∴a_n=c_n-1=

256

n

-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=n•a2n=

256n

2n

-n
∵当n≤256时，a_n≥0，由2^k≤256，得k≤8
∴数列{b_k}的前8项和B₈最大．
又B8=256×(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

8

28

)-(1+2+3+…+8)
令T8=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

8

28

由错位相减法可求得
T8=2-5×(

1

2

)7
∴B₈=256×[2-5(

1

2

)7]-36=466．
∴B_k的最大值为466．

点评：本题主要考察了利用递推公式求数列通项，以及等比数列的求和，属于中档题．