Question

称数列{a_n+1-a_n}为数列{a_n}的一阶差数列．若数列{a_n}中，a₁=3，a₄=24．且{a_n+1-a_n}的一阶差数列为常数列2，2，2，…．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）设，求证：对一切n∈N₊，．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定数列{a_n+1-a_n}是公差为2的等差数列，即可求得结论；
（2）数列{a_n+1-a_n}是首项为5，公差为2的等差数列，由此可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）利用裂项法求和，即可证得结论．
解答：（1）解：由于数列{a_n+1-a_n}的一阶差数列为常数列2，2，2，…，知数列{a_n+1-a_n}是公差为2的等差数列．
由（a₄-a₃）-（a₃-a₂）=2，（a₃-a₂）-（a₂-a₁）=2得a₂=8，a₃=15．（4分）
（2）解：数列{a_n+1-a_n}是首项为5，公差为2的等差数列，
n≥2时，
∴，（8分）
而a₁=3也恰适合以上通项公式，故（9分）
（3）证明：对一切n∈N₊，
==（13分）
点评：本题考查新定义，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．