Question

已知A、B、M是长轴为4的椭圆C上的三点，点A是长轴的一个端点，BM过此椭圆中心O，且=0，=8．

(1)建立适当的坐标系，求椭圆的方程；

(2)设椭圆C上有两点P、Q使∠PMQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使PQ=λAB．

Answer 1

答案：(1)以O为原点，以射线OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，则A(2，0)．

于是可设C：==1．

∵=0，∴AM⊥BMcos∠ABM=．

从而，=|BM|·|BA|·=|BM|²=8|BM|=.

由对称性知，|MO|=|BM|=.

第22题图

∴M(1，1)，B(-1，-1)．

代入C的方程，得=1b²=．

故C：=1.

(2)∵∠PMQ的平分线垂直于x轴，∴可设直线MP的斜率为k，MQ的斜率为-k．

于是MP：y-1=k(x-1)，MQ：y-1=-k(k-1)．

从MP与C的方程中消去y，得

(1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0．

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)．

由于M(1，1)在C上，∴x₁=x₁·1=

同理可得x₂=．

∵y₁=k(x₁-1)+1，y₂=-k(x₂-1)+1．

∴k_PQ==.

又k_AB=，从而.故存在实数λ，使.