Question

投资生产A产品时，每生产100t需要资金200万元，需场地200m²，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100t需要资金300万元，需场地100m²，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900m²，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？

Answer 1

分析：设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使获利最大，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．

解答：解：设生产A产品x百吨，生产B产品y百吨，利润为S百万元（1′）
则约束条件为：

2x+3y≤14 2x+y≤9 x≥0 y≥0

，（5′）目标函数为S=3x+2y，（7′）
作出可行域，（11′）
使目标函数为S=3x+2y取最大值的（x，y）是直线2x+3y=14与2x+y=9的交点（3.25，2.5），
此时S=3×3.25+2×2.5=14.75（13′）
答：应作生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5百吨的组合投资，可使获利最大．（15′）

点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．