已知函数
，
，
．
（1）求函数
的极值点；
（2）若
在
上为单调函数，求
的取值范围；
（3）设
，若在
上至少存在一个
，使得
成立，求的取值范围．
(1)
为函数的极小值点；（2）的取值范围是
；
（3）的取值范围是
解析试题分析：(1)因为
.由
得，
所以为函数的极小值点；
（2）
.在上为单调函数，则
或
在上恒成立.等价于
,所以
. 等价于
，所以
.由此可得的取值范围.
（3）构造函数
，
在上至少存在一个，使得成立，则只需
在上的最大值大于0 即可.接下来就利用导数求在上的最大值.
当
时，
，所以在
不存在
使得
成立.
当
时，
，因为
，所以
在恒成立，
故
在单调递增，
，
所以只需
，解之即得的取值范围.
试题解析：(1)因为.由得，
所以为函数的极小值点 3分
（2），.
因为在上为单调函数，所以或在上恒成立 5分等价于
． 7分
等价于
即在
恒成立，
而
．
综上，的取值范围是． 8分
（3）构造函数
，
当时，
寒假学与练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
（
为常数），其图象是曲线
．
（1）当
时，求函数
的单调减区间；
（2）设函数的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；
（3）已知点
为曲线上的动点，在点处作曲线的切线
与曲线交于另一点
，在点处作曲线的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
=
。
（1）当
时，求函数的单调增区间；
（2）求函数在区间
上的最小值；
（3）在（1）的条件下，设
=+
，
求证：
（
），参考数据：
。（13分）
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知
．
（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线
垂直，求
的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：
．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线
相切于点M.A为上半圆弧上一点，过点A作的垂线，垂足为B．市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：
)，
(单位：弧度）．
(I)将S表示为
的函数；
(II)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线
的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，切曲线于点P，设
．
(I)将
（O为坐标原点）的面积S表示成f的函数S(t)；
(II)若
，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值．
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.
在区间
单调递增，求
的最小值；
，对
，使
成立，求
的范围.
（
），其中
．
时，求曲线
在点
处的切线方程；
时，求函数
的极大值和极小值．
其中
为自然对数的底数， 
.
，求函数
的最值；
，都有
成立，求
的取值范围.