Question

15．一个口袋中装有大小相同的6个白球与x（x∈N^*）个红球．从袋中任意摸出两个球，两个球为白球的概率为$\frac{1}{3}$．
（1）求口袋中红球的个数x；
（2）若从口袋中任意摸出三个球，记其中白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意利用等可能事件概率计算公式得到$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{x+6}^{2}}=\frac{1}{3}$，由此能求出口袋中红球的个数．
（2）由已知得取中的白球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望．

解答 解：（1）由题意，得：$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{x+6}^{2}}=\frac{1}{3}$，
解得x=4或x=-15（舍），
∴口袋中红球的个数x为4．
（2）由已知得取中的白球的个数ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{4}{120}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{20}{60}$，
∴随机变量ξ的数学期望Eξ=$0×\frac{4}{120}+1×\frac{36}{120}+2×\frac{60}{120}+3×\frac{20}{60}$=$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．