Question

5．建造一个容积为8m³、深为2m的长方体形无盖游泳池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m²和80元/m²．
（1）求总造价y（元）关于底面一边长x（m）的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）在定义域范围内求出总造价y（元）的最小值．（如利用函数单调性求最小值的，请用定义证明单调性）

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接列出总造价y（元）关于底面一边长x（m）的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（2）判断函数的单调性，然后求解函数的最值．

解答 解：（1）$y=4×120+80（2×2•x+2×2•\frac{4}{x}）$=$480+80（4x+\frac{16}{x}）=480+320x+\frac{1280}{x}$∴$y=\frac{1280}{x}+320x+480$定义域是（0，+∞）
（2）设$f（x）=\frac{1280}{x}+320x+480$，
任取${x_1}＜{x_2}则f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{1280}{x_1}+320{x_1}-\frac{1280}{x_1}-320{x_2}$
$\begin{array}{l}=\frac{1280}{x_1}-\frac{1280}{x_2}+320{x_1}-320{x_2}\\=320（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}}}\end{array}$
$\begin{array}{l}当2＜{x_1}＜{x_2}时，{x_1}-{x_2}＜0，{x_1}{x_2}＞4$，
∴${x_1}{x_2}-4＞0\\∴320（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}}}＜0，\\∴f（{x_1}）-f（{x_2}）＜0$，∴$f（{x_1}）＜f（{x_2}）\end{array}$，
当0＜x₁＜x₂≤2时，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴x₁x₂-4＜0，
∴$320（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴$f（{x_1}）＞f（{x_2}）\end{array}$
∴f （x）在（0，2]上是减函数，f （x）在[2，+∞）上是增函数
∴当x=2时，f （x）_min=f （2）=1760（元）
答：在定义域范围内总造价的最小值为1760元

点评 本题考查函数的解析式的求法，函数的模型的应用，考查分析问题解决问题的能力．