Question

15．如图，AB和CD是两条异面直线，AB=CD=3，E，F分别为线段AD，BC上的点，且$\frac{AE}{ED}$=$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，EF=$\sqrt{7}$，求AB和CD所成的角．

Answer 1

分析 可作EG∥AB，并交BD于G，并连接GF，根据条件即可说明EG∥AB，GF∥CD，从而便得到异面直线AB与CD所成角为∠EGF或其补角，并且可以根据比例关系求出EG，GF，这样在△EFG中根据余弦定理即可得出cos∠EGF，从而得出该角，这样便能得到AB和CD所成角．

解答 解：如图，作EG∥AB，交BD于G，并连接GF，则：
∵$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{BG}{GD}=\frac{1}{2}$；
又$\frac{BF}{FC}=\frac{1}{2}$；
∴GF∥CD；
∴∠EGF或其补角便是异面直线AB和CD所成的角；
根据前面，$\frac{EG}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{2}{3}$，$\frac{GF}{CD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3}$，且AB=CD=3；
∴EG=2，GF=1，又EF=$\sqrt{7}$；
∴在△EFG中，由余弦定理得：cos$∠EGF=\frac{E{G}^{2}+G{F}^{2}-E{F}^{2}}{2EG•GF}=\frac{4+1-7}{4}=-\frac{1}{2}$；
∴∠EGF=120°；
∴AB和CD所成的角为60°．

点评 考查平行线分线段成比例定理，平行线的判定，以及异面直线所成角的定义及求法，余弦定理求三角形的内角．