Question

6．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x，（a，b∈R）在点x=-1处取得极大值为2，求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在区间[-2，2]的最值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，得到不等式组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx-3，
依题意得：f（-1）=2，f′（-1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-3=0}\\{-a+b+3=2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x；
（2）由（1）得：f（x）=x³-3x，f′（x）=3x²-3，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴f（x）在[-2，-1），（1，2]递增，在（-1，1）递减，
∴f（x）_极大值=f（-1）=-1+3=2，
f（x）_极小值=f（1）=1-3=-2，
而f（-2）=-8+6=-2，f（2）=8-6=2，
∴f（x）在[-2，2]上的最小值是-2，最大值是2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．