Question

16．抛物线C：y=x²在点P处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$．当点P在C上移动时，点M的轨迹为D．
（1）求曲线D的方程；
（2）设直线l与曲线D的另一个交点为N，曲线D在点M、N处的切线分别为m、n，直线m、n相交于点Q．证明：PQ平行于x轴．

Answer 1

分析 （1）求导函数，可得直线l方程，确定A，B的坐标，利用，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$，即可求出曲线D的方程；
（2）求出直线m、n的方程，确定点Q纵坐标为x₀²，即可证明PQ平行于x轴．

解答 解：（1）对y=x²，求导，得y′=2x．
设点P（x₀，x₀²）（x₀≠0），则直线l方程为y-x₀²=2x₀（x-x₀），即y=2x₀x-x₀²，
在l方程中分别令y=0，x=0，得A（$\frac{1}{2}$x₀，0）、B（0，-x₀²）．
设M（x，y），
∵$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$
∴（x-$\frac{1}{2}$x₀，y）=$\frac{1}{2}$（-x，-x₀²-y）．
由此得x₀=3x，x₀²=-3y，
消去x₀，得曲线D的方程为y=-3x²（x≠0）．
（2）将y=-3x²代入直线l方程，并整理得3x²+2x₀x-x₀²=0，
由（1）知，M（$\frac{{x}_{0}}{3}$，-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$），设N（x₁，-3x₁²），则$\frac{{x}_{0}}{3}$•x₁=-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，
∴x₁=-x₀．
对y=-3x²求导，得y′=-6x，
于是直线m、n的方程分别为y+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$=-2x₀（x-$\frac{{x}_{0}}{3}$）和y+3x₀²=6x₀（x+x₀），
即y=-2x₀x+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$和y=6x₀x+3x₀²，
由此得点Q纵坐标为x₀²，故PQ平行于x轴．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，知识综合性强．