Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，AB为过焦点的弦，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析 可想着写出AB的方程，从而可讨论斜率k是否存在：不存在斜率时，容易得出|AB|=$\frac{32}{5}$；而存在斜率时，可以设直线AB的方程为y=k（x-3），联立椭圆的方程，从而可消去y得到关于x的方程，（25k²+16）x²-150k²x+225k²-400=0，根据韦达定理可写出x₁+x₂，x₁x₂，由弦长公式即可求出|AB|=$\frac{32}{5}+\frac{288}{5（25{k}^{2}+16）}$，这样由k²≥0即可得出|AB|的范围，从而可得出|AB|的最大值和最小值．

解答 解：椭圆的右焦点为（3，0），则：
（1）若过该焦点的直线不存在斜率，则该直线方程为x=3，带入椭圆方程得：
$\frac{9}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
∴$y=±\frac{16}{5}$；
∴$|AB|=\frac{32}{5}$；
（2）若存在斜率，设该直线方程为y=k（x-3），带入椭圆方程得：
（25k²+16）x²-150k²x+225k²-400=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{150{k}^{2}}{25{k}^{2}+16}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{225{k}^{2}-400}{25{k}^{2}+16}$；
∴$|AB|=\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{160（1+{k}^{2}）}{25{k}^{2}+16}$=$\frac{32}{5}+\frac{288}{5（25{k}^{2}+16）}$；
25k²+16≥16；
$0＜\frac{1}{5（25{k}^{2}+16）}≤\frac{1}{80}$；
∴$\frac{32}{5}＜|AB|≤10$；
∴综上得，$\frac{32}{5}≤|AB|≤10$；
∴|AB|的最大值为10，最小值为$\frac{32}{5}$．

点评 考查直线的点斜式方程，椭圆的标准方程，椭圆的焦点，弦及弦长的概念，以及弦长公式，韦达定理，根据不等式的性质求函数值域的方法．