Question

4．已知P是以F₁（-c，0）和F₂（c，0）为左、右焦点的椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点，满足$\frac{α}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，则椭圆的离心率的取值范围为$[\sqrt{2}-1，1）$．

Answer 1

分析 如图所示，在△PF₁F₂中，由正弦定理可得：$\frac{|P{F}_{1}|}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，利用已知$\frac{a}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$＜1，由椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，a＜|PF₂|≤a+c，化简整理即可得出．

解答 解：如图所示，
在△PF₁F₂中，由正弦定理可得：$\frac{|P{F}_{1}|}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，
又已知$\frac{a}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$＜1，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，a＜|PF₂|≤a+c，
∴∴$\frac{c}{a}$=$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{2a-|P{F}_{2}|}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{2a}{|P{F}_{2}|}$-1，
∴$\frac{1}{a+c}$≤$\frac{1}{|P{F}_{2}|}$＜$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{a-c}{a+c}$≤$\frac{c}{a}$＜1，即$\frac{1-e}{1+e}$≤e＜1，
解得$\sqrt{2}-1$＜e＜1．
∴椭圆的离心率的取值范围为$[\sqrt{2}-1，1）$．
故答案为：$[\sqrt{2}-1，1）$．

点评 本题考查了椭圆的性质、不等式的性质、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．