Question

13．已知四边形ABCD为正方形，P为面ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=2，AB=$\sqrt{2}$，M是侧棱PC的中点，则异面直线PA与BM所成的角的大小为45°．

Answer 1

分析 连结AC，BD交于点O，连结OP，以O为原点，OA、OB、OC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PA与BM所成的角的大小．

解答 解：连结AC，BD交于点O，连结OP，
∵四边形ABCD为正方形，P为面ABCD外一点，且PA=PB=PC=PD=2，AB=$\sqrt{2}$，M是侧棱PC的中点，
∴AC⊥BD，OP⊥AC，∴OP⊥AC，同理OP⊥BD，
以O为原点，OA、OB、OC分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），
∴M（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BM}$＞=$\frac{\frac{1}{2}+0+\frac{3}{2}}{\sqrt{1+0+3}•\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{3}{4}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴异面直线PA与BM所成的角的大小为45°．
故答案为：45°．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．