Question

20．已知函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d（a＞0）的图象如图所示，该函数的单调增区间为（-∞，1）和（x₀，+∞），单调减区间为（1，x₀）．
（1）求c，d的值；
（2）若x₀=5，方程f（x）=8a有三个不同的根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，利用函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，建立方程，即可求c，d的值；
（2）先求出b=-9a，问题转化为ax²-6ax+5=0有2个不同的实根，根据根的判别式得到不等式解出即可．

解答 解：函数f（x）的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b，
（1）由图可知，函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3a+2b+c-3a-2b=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
（2）由（1）得：f′（x）=3ax²+2bx-（3a+2b），
由题意得：1，5是方程f′（x）=0的2个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2b}{3a}=3}\\{-\frac{3a+2b}{3a}=5}\end{array}\right.$，解得：b=-9a，
∴f（x）=ax³-9ax²+15ax+3，
方程f（x）=8a有三个不同的根，
即方程ax³-9ax²+15ax+3-8a=0有三个不同的根，
令g（x）=ax³-9ax²+15ax+3-8a，
得：g′（x）=3（ax²-6ax+5），
问题转化为ax²-6ax+5=0有2个不同的实根，
∴△=36a²-20a＞0，解得：a＞$\frac{5}{9}$或a＜0（舍）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的解析式，属于中档题．