Question

12．已知函数f（x）=-x³+ax²-1．
（1）若f（x）在区间（0，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减，求a的值；
（2）若方程f（x）=ax²-12x-b有三个不同的实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在区间（0，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减，得到当x=2时，函数取得极大值，解f′（2）=0，求a的值；
（2）若方程f（x）=ax²-12x-b有三个不同的实数解，利用参数分离法，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=-3x²+2ax，
若f（x）在区间（0，2）上单调递增，在区间（2，+∞）上单调递减，
∴当x=2时，函数取得极大值，即f′（2）=0，
即f′（2）=-3×2²+2a×2=0，
即4a-12=0，解得a=3；
（2）若方程f（x）=ax²-12x-b有三个不同的实数解，
即-x³+ax²-1=ax²-12x-b，
则b=x³-12x+1，
设h（x）=x³-12x+1，
则h′（x）=3x²-12=3（x²-4），
由h′（x）＞0得x＞2或x＜-2，此时函数单调递增，
由h′（x）＜0得-2＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=-2函数取得极大值，即h（-2）=17，
当x=2函数取得极小值，即h（2）=-15，
若b=x³-12x+1有三个不同的交点，
则-15＜b＜17，
即实数b的取值范围是（-15，17）．

点评 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，求函数的导数，利用导数是解决本题的关键．