Question

17．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{ax}}{x}$（a∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求f（x）的最小值；
（2）求证：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i•（\sqrt{e}）^{i}}$＜$\frac{7}{2e}$．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{2}$时，求出函数的导数，利用导数即可求f（x）的最小值；
（2）利用（1）的结论，利用放缩法即可证明不等式．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}}{x}$，
则函数的导数f′（x）=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}•x-{e}^{\frac{1}{2}x}}{{x}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}x}（x-2）}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0得x＞2，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得x＜2且x≠0，
即当x=2时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值为f（2）=$\frac{e}{2}$．
即f（x）的最小值为$\frac{e}{2}$；
（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）=$\frac{{e}^{\frac{1}{2}x}}{x}$的最小值为$\frac{e}{2}$．
即$\frac{x}{{e}^{\frac{x}{2}}}$≤$\frac{2}{e}$，（x＞0），
∴$\frac{1}{i•（\sqrt{e}）^{i}}$=$\frac{i}{{i}^{2}•（\sqrt{e}）^{i}}$≤$\frac{1}{{i}^{2}}•$$\frac{2}{e}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i•（\sqrt{e}）^{i}}$=$\frac{1}{\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2•（\sqrt{e}）^{2}}$+$\frac{1}{3•（\sqrt{e}）^{3}}$+…+$\frac{1}{n（\sqrt{e}）^{n}}$≤$\frac{2}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{2}{e}$（1+$\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}+…+\frac{1}{{n}^{2}-1}$）
=$\frac{2}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{2}{e}$[1+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{2}{e}$（$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{7}{2e}$．

点评 本题主要考查利用导数求函数的最值，以及利用放缩法证明不等式，综合性较强，难度太大．