Question

5．利用夹逼准则计算下列极限．
（1）$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+2}}+…+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+n}}$）；
（2）$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}+…+\frac{1}{{2n}^{2}}$）；
（3）$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{n}^{2}+n+1}+\frac{2}{{n}^{2}+n+2}+…+\frac{n}{{n}^{2}+n+n}$）．

Answer 1

分析 （1）由于$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$=$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+n}}$≤$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+2}}+…+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+n}}$≤$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}}}$；利用数列极限运算法则即可得出．
（2）由于$\frac{1}{2n}$=$\frac{n}{2{n}^{2}}$≤$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}+…+\frac{1}{{2n}^{2}}$≤$\frac{n}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n}$；利用数列极限运算法则即可得出．
（3）由于$\frac{1+\frac{1}{n}}{2（1+\frac{2}{n}）}$=$\frac{1+2+…+n}{{n}^{2}+n+n}$≤$\frac{1}{{n}^{2}+n+1}+\frac{2}{{n}^{2}+n+2}+…+\frac{n}{{n}^{2}+n+n}$≤$\frac{1+2+…+n}{{n}^{2}+n+1}$=$\frac{n（n+1）}{2（{n}^{2}+n+1）}$=$\frac{1+\frac{1}{n}}{2（1+\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}）}$，利用数列极限运算法则即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$=$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+n}}$≤$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+2}}+…+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+n}}$≤$\frac{n}{\sqrt{{n}^{2}+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}}}$；又$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}$=1，$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}}}$=1．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+2}}+…+\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+n}}$）=1；
（2）∵$\frac{1}{2n}$=$\frac{n}{2{n}^{2}}$≤$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}+…+\frac{1}{{2n}^{2}}$≤$\frac{n}{{n}^{2}}$=$\frac{1}{n}$，$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{2n}$=0，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0；
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{{（n+1）}^{2}}+…+\frac{1}{{2n}^{2}}$）=0；
（3）∵$\frac{1+\frac{1}{n}}{2（1+\frac{2}{n}）}$=$\frac{1+2+…+n}{{n}^{2}+n+n}$≤$\frac{1}{{n}^{2}+n+1}+\frac{2}{{n}^{2}+n+2}+…+\frac{n}{{n}^{2}+n+n}$≤$\frac{1+2+…+n}{{n}^{2}+n+1}$=$\frac{n（n+1）}{2（{n}^{2}+n+1）}$=$\frac{1+\frac{1}{n}}{2（1+\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}）}$．
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{n}}{2（1+\frac{2}{n}）}$=$\frac{1}{2}$，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1+\frac{1}{n}}{2（1+\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}）}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{1}{{n}^{2}+n+1}+\frac{2}{{n}^{2}+n+2}+…+\frac{n}{{n}^{2}+n+n}$）=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列极限运算法则、重要极限、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．