Question

10．设函数f（x）=lnx+a（x²-1）-2（x-1）．
（Ⅰ）若a=0时直线y=mx+1与曲线y=f（x）相切，求m的值；
（Ⅱ）已知（x-1）f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得a=0的f（x）的解析式，求得导数，设出切点，求得切线的斜率，结合切线方程，计算即可得到m=-1；
（Ⅱ）讨论x≥1时，f（x）≥0，或x≤1，f（x）≤0，考虑等价变形$\frac{lnx}{x-1}$≥2-a（x+1），即有y=$\frac{lnx}{x-1}$恒在直线y=2-a（x+1）上，画出图象，结合直线恒过定点（-1，2），观察即可得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）若a=0时，f（x）=lnx-2（x-1），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，设切点为（s，t），
则$\frac{1}{s}$-2=m，ms+1=lns-2（s-1），
解得s=1，m=-1．
（Ⅱ）由（x-1）f（x）≥0，可得
x≥1时，f（x）≥0，或x≤1，f（x）≤0，
当x≥1时，lnx+a（x²-1）-2（x-1）≥0，
即为$\frac{lnx}{x-1}$+a（x+1）-2≥0，
即有$\frac{lnx}{x-1}$≥2-a（x+1），
即有y=$\frac{lnx}{x-1}$恒在直线y=2-a（x+1）上，
由于$\frac{lnx}{x-1}$-1=$\frac{lnx-x+1}{x-1}$，由lnx-x+1的导数为$\frac{1}{x}$-1＜0，
可得lnx＜x-1，即有$\frac{lnx}{x-1}$＜1，
则有0＜$\frac{lnx}{x-1}$＜1．
由图象可知直线过点（1，1）时，1=2-a（1+1），
可得a=$\frac{1}{2}$，
即有a≥$\frac{1}{2}$；
同理可得0＜x≤1，f（x）≤0恒成立，
即为lnx+a（x²-1）-2（x-1）≤0，
即为$\frac{lnx}{x-1}$+a（x+1）-2≥0，
即有$\frac{lnx}{x-1}$≥2-a（x+1），
即有y=$\frac{lnx}{x-1}$恒在直线y=2-a（x+1）上，
即有a≥$\frac{1}{2}$．
综上可得a的范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式成立问题的解法，注意通过数形结合的思想方法，属于中档题．