Question

1．在如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求：
（1）AA₁与C₁D₁所成的角；
（2）AB₁与C₁D₁所成的角；
（3）AC与A₁B所成的角．

Answer 1

分析 （1）容易看出∠AA₁B₁为AA₁与C₁D₁所成角，且该角为90°；
（2）可以看出∠AB₁A₁为AB₁与C₁D₁所成角，且该角为45°；
（3）连接A₁C₁，BC₁，从而∠BA₁C₁是AC与A₁B所成的角，并且可看出该角为60°．

解答 解：（1）A₁B₁∥C₁D₁；
∴∠AA₁B₁为异面直线AA₁与C₁D₁所成的角，且∠AA₁B₁=90°；
∴AA₁与C₁D₁所成的角为90°；
（2）A₁B₁∥C₁D₁；
∴∠AB₁A₁为异面直线AB₁与C₁D₁所成的角；
∴异面直线AB₁与C₁D₁所成的角为45°；
（3）如图，连接A₁C₁，BC₁，则：A₁C₁∥AC；
∴∠BA₁C₁是AC与A₁B所成角；
△A₁BC₁为等边三角形；
∴∠BA₁C₁=60°；
∴AC与A₁B所成角为60°．

点评 考查异面直线所成角的定义及求法，正方体的概念及正方体面对角线相等．