Question

13．过圆x²+y²=4内一点A（1，1）作一弦交圆于B、C两点，过点B、C作圆的切线PB、PC，则点P的轨迹方程是x+y=4．

Answer 1

分析 可设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀），从而可以写出切线PB，PC的切线方程分别为：xx₁+yy₁=4，xx₂+yy₂=4，而这两切线都过P点，从而可得到直线BC的方程为：xx₀+yy₀=4，再根据直线BC过点A（1，1）即可得出关于x₀，y₀的方程，从而得出点P的轨迹方程．

解答 解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则过圆x²+y²=4上的B，C点的切线方程分别为：
xx₁+yy₁=4，xx₂+yy₂=4，P点在切线上；
∴x₀x₁+y₀y₁=4，x₀x₂+y₀y₂=4；
∴直线BC的方程为：xx₀+yy₀=4；
直线BC过点A（1，1）；
∴x₀+y₀=4；
∴点P的轨迹方程为x+y=4．
故答案为：x+y=4．

点评 考查圆的标准方程，根据圆的方程写出过圆上一点的切线方程方法，知道两点确定一条直线，从而两点都满足的直线方程便是过这两点的直线方程，理解轨迹方程的概念及求法．