Question

已知f(n)=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）归纳并猜想f（n）
（Ⅱ）用数学归纳证明你的猜想．

Answer 1

分析：（I）分别计算f（1）=

1

2

，f（2）=1-

1

3

=

2

3

，f（3），f（4），归纳并猜想f（n）=

n

n+1

；
（II）用数学归纳法证明，①检验n=1时，猜想成立；②假设当n=k时，命题成立，即f（k）=

k

k+1

，再证明当n=k+1时，也成立，从而猜想成立．

解答：解：（I）分别计算f（1）=

1

2

，
f（2）=

1

1×2

+

1

2×3

=1-

1

3

=

2

3

，
f（3）=1-

1

4

=

3

4

，
f（4）=1-

1

5

=

4

5

，
归纳并猜想f（n）=

n

n+1

（n∈N^*）；
（II）证明：①当n=1 时，由上面计算知结论正确．
②假设n=k时等式成立，即f（k）=

k

k+1

，
则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k+1

k+2

，
即n=k+1时等式成立．
由①②知，等式对任意正整数都成立．

点评：本题考查根据递推关系求数列的通项公式的方法，考查数学归纳法，证明n=k+1时，是解题的难点．