Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．
（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；
（2）求满足条件|PM|=|PO|的点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：把圆C的方程化为标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=4，∴圆心为C（﹣1，2），半径r=2．

当l的斜率不存在时，此时l的方程为x=1，C到l的距离d=2=r，满足条件．

当l的斜率存在时，设斜率为k，得l的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，

则 =2，解得k=﹣ ．∴l的方程为y﹣3=﹣ （x﹣1），即3x+4y﹣15=0．

综上，满足条件的切线l的方程为x=1，或3x+4y﹣15=0

（2）解：设P（x，y），则|PM|2=|PC|2﹣|MC|2=（x+1）2+（y﹣2）2﹣4，|PO|2=x2+y2．

∵|PM|=|PO|，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣4=x2+y2，整理，得2x﹣4y+1=0，

∴点P的轨迹方程为2x﹣4y+1=0

【解析】（1）对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线的方程．（2）设出P的坐标，代入平面内两点间的距离公式，化简得轨迹方程．