Question

【题目】如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC

（1）求证：BE=2AD；
（2）当AC=3，EC=6时，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接DE，

∵ACED是圆内接四边形，

∴∠BDE=∠BCA，

又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有 ，

又∵AB=2AC，∴BE=2DE，

∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，

∴BE=2AD；

（2）

解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，

则BE=2t，BC=2t+6，

根据割线定理得BDBA=BEBC，

即（6﹣t）×6=2t（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，

解得 或﹣6（舍去），则 ．

【解析】（1）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（2）根据割线定理得BDBA=BEBC，从而可求AD的长．