Question

（本小题满分12分）已知函数

（1）若是单调函数，求的取值范围；

（2）若有两个极值点，证明：

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax²＋x，

f¢(x)＝－－2ax＋1＝－．                       …2分

令Δ＝1－8a．

当a≥时，Δ≤0，f¢(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减．              …4分

当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax²－x＋1＝0有两个不相等的正根x₁，x₂，

不妨设x₁＜x₂，

则当x∈(0，x₁)∪(x₂，＋∞)时，f¢(x)＜0，当x∈(x₁，x₂)时，f¢(x)＞0，

这时f(x)不是单调函数．

综上，a的取值范围是[，＋∞)．                                  …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，f(x)有极小值点x₁和极大值点x₂，

且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

f(x₁)＋f(x₂)＝－lnx₁－ax＋x₁－lnx₂－＋x₂

＝－(lnx₁＋lnx₂)－(x₁－1)－ (x₂－1)＋(x₁＋x₂)

＝－ln(x₁x₂)＋ (x₁＋x₂)＋1＝ln(2a)＋＋1．                       …9分

令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，

则当a∈(0，)时，g¢(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调递减，

所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x₁)＋f(x₂)＞3－2ln2．                   …12分

【解析】本题考查函数的单调性和不等式的证明，考查学生利用求导研究函数性质的解题能力和分类讨论思想的应用。第一问借助函数为单调函数进行转化；第二问通过构造函数，证明函数的单调性分析得到函数的最值达到证明不等式的目的.