Question

已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量

e

1=

1   1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量

e

2的坐标之间的关系．
（3）求直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

Answer 1

分析：（1）设出要求的矩阵，根据矩阵的特征向量和特征值，和把一个点变成另一个点的坐标，得到关系式，即得到关于字母的方程组，解方程组得到结果．
（2）根据第一问得到矩阵M的特征多项式，求出对应的特征值，设出矩阵的另一个特征向量，根据两者的关系写出结果．
（3）设出点（x，y）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），根据变换前后写出关系式，整理出要求的直线的方程．

解答：解：（1）设M=

a b c d

，则

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，
故

a+b=8 c+d=8.

a b c d

-1 2

=

-2 4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4.

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
故其另一个特征值为λ=2．
设矩阵M的另一个特征向量是e₂=

x y

，
则M e₂=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，
解得2x+y=0．
（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，
其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则

6 2 4 4

x y

=

x′ y′

，
即x=

1

4

x′-

1

8

y′，y=-

1

4

x′+

3

8

y′，
代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0，
即x-y+2=0．

点评：本题考查矩阵的特征向量和特征值的应用，本题是一个基础题，题目的运算量较小，并且考查最基本的矩阵问题，若出现是一个送分题目．