【题目】已知函数,其中常数
.
(1)当,求函数
的单调递增区间;
(2)设定义在上的函数
在点
处的切线方程为
,若
在
内恒成立,则称
为函数
的“类对称点”,当
时,试问
是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】2015年10月十八届五中全会决定2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策,为了了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市进行了一次民意调查,参与调查的100位市民中,年龄分布情况如下图所示,并得到适龄民众对放开生育二胎政策的态度数据如下表:
生二胎 | 不生二胎 | 合计 | |
25~35岁 | 10 | ||
35~50岁 | 30 | ||
合计 | 100 |
(1)填写上面的列联表;
(2)根据调查数据,有多少的把握认为“生二胎与年龄有关”,说明理由;
(3)调查对象中决定生二胎的民众有六人分别来自三个不同的家庭且为父子,各自家庭都有一个约定:父亲先生二胎,然后儿子生二胎,则这三个家庭“二胎出生的日期的先后顺序”有多少种?
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
(参考公式:,其中
)
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【题目】在如图所示的空间几何体中,平面平面
,
与
都是边长为2的等边三角形,
,
与平面
所成的角为
,且点E在平面
上的射影落在
的平分线上.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】衡州市英才中学贯彻党的教育方针,促进学生全面发展,积极组织开展了丰富多样的社团活动,根据调查,英才中学在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“曲艺”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
社团 | 泥塑 | 剪纸 | 曲艺 |
人数 | 320 | 240 | 200 |
为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本,已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人。
(1)求三个社团分别抽取了多少同学;
(2)若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.
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【题目】设函数(
,
,
,
)的图象在点
处的切线的斜率为
,且函数
为偶函数.若函数
满足下列条件:①
;②对一切实数
,不等式
恒成立.
(1)求函数的表达式;
(2)设函数(
)的两个极值点
,
(
)恰为
的零点.当
时,求
的最小值.
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【题目】为了解某单位员工的月工资水平,从该单位500位员工中随机抽取了50位进行调查,得到如下频数分布表和频率分布直方图:
月工资 (单位:百元) | [15,25) | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) |
男员工数 | 1 | 8 | 10 | 6 | 4 | 4 |
女员工数 | 4 | 2 | 5 | 4 | 1 | 1 |
(1) 试由上图估计该单位员工月平均工资;
(2)现用分层抽样的方法从月工资在和
的两组所调查的男员工中随机选取5人,问各应抽取多少人?
(3)若从月工资在和
两组所调查的女员工中随机选取2人,试求这2人月工资差不超过1000元的概率.
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【题目】海关对同时从,
,
三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 | |||
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自,
,
各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
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【题目】已知圆,直线
经过点A (1,0).
(1)若直线与圆C相切,求直线
的方程;
(2)若直线与圆C相交于P,Q两点,求三角形CPQ面积的最大值,并求此时直线
的方程.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面
,
均为正方形,
,点
是棱
的中点.请建立适当的坐标系,求解下列问题:
(Ⅰ)求证:异面直线与
互相垂直;
(Ⅱ)求二面角(钝角)的余弦值.
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