Question

已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x₁、x₂满足关系f(x₁+x₂)?=f(x₁)+f(x₂)+2.

(1)证明f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称图形;

(2)若x＞0,则有f(x)＞-2,求证:f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

Answer 1

剖析:对于(1),只要证明=-2即可;对于(2),注意到f(x)是抽象函数,欲证单调性,需对f(x)进行适当的变形.

证明:(1)令x₁=x₂=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)+2,

    所以f(0)=-2.

    对任意实数x,令x₁=x,x₂=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)+2,

    即f(0)-2=f(x)+f(-x),得=-2.

    又=0,

    这表明点M(x,f(x))与点N(-x,f(-x))的中点是(0,-2),即点M₁N关于点(0,-2)成中心对称.

    由点M的任意性知:函数f(x)的图象关于点(0,-2)成中心对称.

    (2)对任意实数x₁、x₂,且x₁＜x₂.

    由x₂-x₁＞0,有f(x₂-x₁)＞-2.

    于是f(x₂)=f［(x₂-x₁)+x₁］=f(x₂-x₁)+f(x₁)+2.

    所以f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+2＞-2+2=0,

    即f(x₂)＞f(x₁).

    所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

讲评:对于(1),求出f(0)=-2是解题的关键;对于(2),变形f(x₂)=f［(x₂-x₁)+x₁］=f(x₂-x₁)+f(x₁)+2是解题的关键.