Question

复数z₁=3+4i，z₂=1-i，z₃=c+（c-2）i（其中i为虚数单位）早复平面内对应的点分别为A，B，C．
（1）若∠BAC是锐角，求实数c的取值范围；
（2）若复数z满足|z-（z₁+z₂）|=1，求|z|的取值范围．

Answer 1

考点：复数求模

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数与向量之间的对应关系、向量的数量积运算与夹角公式即可得出；
（2）利用复数的运算法则、几何意义、点与圆的位置关系即可得出．

解答： 解：（1）∵

BA

对应的复数为z₁-z₂=（3+4i）-（1-i）=2+5i，∴

BA

=（2，5），

BC

对应的复数为z₃-z₂=c+（c-2）i-（1-i）=（c-1）+（c-1）i，∴

BC

=（c-1，c-1），
∴cos∠ABC=

BA • BC

| BA || BC |

=

2(c-1)+5(c-1)

22+52 (c-1)2×2

＞0，解得c＞1，
由向量坐标可知：

BA

与

BC

不共线，
因此实数c的取值范围是c＞1．
（2）设z=x+yi（x，y∈R）．
∵z-（z₁+z₂）=x+yi-（4+3i）=（x-4）+（y-3）i，
|z-（z₁+z₂）|=1，
∴

(x-4)2+(y-3)2

=1，
化为（x-4）²+（y-3）²=1，
其圆心C（4，3），半径r=1．
|OC|=

42+32

=5．
∴|z|的取值范围是|OC|-r≤|z|≤|OC|+r，
即4≤|z|≤6．
∴∴|z|的取值范围是4≤|z|≤6．

点评：本题考查了复数与向量之间的对应关系、向量的数量积运算与夹角公式、复数的运算法则、几何意义、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．