Question

【题目】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由f（x）的导函数形式可以看出ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=ex-kx，g′（x）=ex-k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．

∵函数的定义域是（0，+∞），
∴ ．
x=1是函数f（x）的唯一一个极值点
∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．
∴ex-kx=0在（0，+∞）无变号零点，
令g（x）=ex-kx
g′（x）=ex-k
①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的
g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解
②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk
0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x＞lnk时，g′（x）＞0，g（x）单调递增.
∴g（x）的最小值为g（lnk）=k-klnk
∴k-klnk≥0
∴0＜k≤e

综上所述，k≤e．
故选：A．