Question

【题目】已知函数，其中．

Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；

Ⅱ当时，若在区间上的最小值为，求a的取值范围；

Ⅲ若，，且，恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

Ⅰ 求出,由的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；Ⅱ确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数确定函数的单调性，利用单调性求得函数在区间上的最小值为，即可求的取值范围；Ⅲ设，则，对任意，，，且恒成立，等价于在上单调递增，由此可求的取值范围．

Ⅰ当时，，

因为，，所以切线方程为

Ⅱ函数的定义域为．

当时，，

令，即，所以或

当，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值是；

当时，在上的最小值是，不合题意；

当时，在上单调递减，

所以在上的最小值是，不合题意

综上可得

Ⅲ设，则，对任意，，，且恒成立，等价于在上单调递增.

而，

当时，，此时在单调递增；

当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，

对于函数，过定点，对称轴，只需，即

综上可得