Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．若点M（x0 ， y0）在椭圆C上，则点 称为点M的一个“椭点”．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由椭圆的离心率 ，得a=2c，

又a2=b2+c2，则 ，

∴椭圆 ，

由 在C上，则 ，得c=1

∴ ，

∴椭圆C的方程为：

（2）

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（ ， ），Q（ ， ），

由以PQ为直径的圆经过坐标原点，得 ，

即 （1）

由 ，消除y整理得：（3+4k2）x2+8mk+4（m2﹣3）=0，

由△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0，

而 （2）

∴ （3）

将（2）（3）代入（1）得： ，

即2m2﹣4k2=3，

又∵ ，

原点O到直线l：y=kx+m的距离 ，

∴ ，

把2m2﹣4k2=3代入上式得 ，即S△AOB的面积是为 ．

【解析】（1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及a，b，c的关系，即可取得a与b的值，求得椭圆方程；（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点，得 ，将直线l的方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将2m2﹣4k2=3代入即可求得△AOB的面积．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．