Question

【题目】已知圆C过点，且与圆外切于点，是x轴上的一个动点．

求圆C的标准方程；

当圆C上存在点Q，使，求实数m的取值范围；

当时，过P作直线PA，PB与圆C分别交于异于点P的点A，B两点，且求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）直线AB恒过定点．

【解析】

1）设出圆的标准方程x2+（y﹣b）2=r2，由已知可得关于r，b的方程组求解得答案；

（2）把圆C上存在点Q，使∠CPQ=30°，转化为直线y=（x﹣m）与圆C有交点，由圆心到直线的距离小于半径求解；

（3）m=1时，P（1，0），设kPA=k，则kPB=，可得直线PA，PB的方程，与圆的方程联立，求得A，B的坐标，写出AB所在直线方程，分别取k=1和﹣1，得到直线方程，联立求得交点坐标，再代回直线方程验证得答案．

设圆C：，

则，解得，，，

故圆C的标准方程为：；

解：当圆C上存在点Q，使，等价于直线与圆C有交点，

圆C到直线的距离小于等于半径1，

即，解得，

故实数m的取值范围是；

证明：时，，设，则，

则直线PA：，PB：，

联立，得，

则，得，．

，

同理可得

则．

直线AB的方程为

当时，直线方程为，当时，直线方程为．

联立，解得，．

把点代入成立，

直线AB恒过定点．