Question

已知二次函数f（x）满足：f（0）=4，f（2-x）=f（2+x），且该函数的最小值为1．
（1）求此二次函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的定义域为A=[m，n]（其中0＜m＜n）．问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数f（x）的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据f（2-x）=f（2+x），可知函数的对称轴为直线x=2，又函数的最小值为1，可设f（x）=a（x-2）²+1，再利用f（0）=4，可求二次函数f（x）的解析式；
（2）由于函数的对称轴为直线x=2，函数f（x）的定义域为A=[m，n]，故需要分类讨论：①当m＜n≤2时，函数在定义域内为单调减函数，故有

f(m)=n f(n)=m

；②当m＜2＜n时，依题意m=f（2）=1，再考虑n＞3与2＜n≤3；③当2≤m＜n时，函数在定义域内为单调增函数，故有

f(m)=m f(n)=n

，从而问题得解．

解答：解：（1）依题意：由f（2-x）=f（2+x）知，函数的对称轴为直线x=2，根据函数的最小值为1，可设f（x）=a（x-2）²+1，
因f（0）=4，代入得a=

3

4

，所以f（x）=

3

4

(x-2)2+1=

3

4

x2-3x+4
（2）假设存在这样的m，n，分类讨论如下：
①当m＜n≤2时，依题意，

f(m)=n f(n)=m

，即

3 4 m2-3m+4=n 3 4 n2-3n+4=m

两式相减，整理得m+n=

8

3

，代入进一步得m=n=

4

3

，产生矛盾，故舍去；
②当m＜2＜n时，依题意m=f（2）=1
若n＞3，f（n）=n，解得n=4或

4

3

（舍去）
若2＜n≤3，n=f（1）=

7

4

，产生矛盾，故舍去
③当2≤m＜n时，依题意，

f(m)=m f(n)=n

即

3 4 m2-3m+4=m 3 4 n2-3n+4=n

解得m=

4

3

，n=4，产生矛盾，故舍去；
综上：存在满足条件的m，n，其中m=1，n=4．

点评：本题重点考查二次函数的性质，考查二次函数的解析式，考查二次函数的值域，解题的关键是搞清函数的单调性与函数对称轴的关系．