Question

（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=且S_n=S_n-1+a_n-1+，数列{b_n}满足b₁=-且3b_n-b_n-1=n（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）求{b_n}前n项和的最小值．

Answer 1

解：（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+，得S_n-S_n-1=a_n-1+，2a_n=2a _n-1+1，a_n-a _n-1+…2分
∴a_n=a₁+（n-1）d=n-
（2）证明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n=b_n-1+n，
∴b_n-a_n=b_n-1+n-n+=b_n-1-n+=（b_n-1-n+）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1-（n-1）+=b_n-1-n+；
∴由上面两式得，又b₁-a₁=--=-30
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30×，
∴=，
b_n-b_n-1=
=
=＞0，∴{b_n}是递增数列
当n=1时，b₁=-＜0；当n=2时，b₂=＜0；
当n=3时，b₃=＜0；当n=4时，b₄=＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S₃=．
分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n，直接求出{a_n}的通项公式；
（2）直接求出数列b_n-a_n表达式，利用等比数列的定义证明数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）利用（2）求出数列的前几项，即可判断数列的符号，然后求{b_n}前n项和的最小值．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用．