Question

4．函数y=lg（x+$\frac{a}{x}$-3）在区间[2，+∞）上递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 根据复合函数的单调性以及函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=g（x）=x+$\frac{a}{x}$-3，
则∵y=lg（x+$\frac{a}{x}$-3）在区间[2，+∞）上递增，
∴函数g（x）在区间[2，+∞）上递增，且g（2）＞0，
①若a≤0，则函数在（0，+∞）上为增函数，满足条件，
此时由g（2）=2+$\frac{a}{2}$-3＞0得a＞2，则矛盾，故此时a≤0不成立．
②若a＞0，函数g（x）的导数g′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{a}$或x＜-$\sqrt{a}$，此时单调递增，
若g（x）在区间[2，+∞）上递增，且g（2）＞0，
在$\sqrt{a}$≤2，且g（2）=2+$\frac{a}{2}$-3＞0，
即0＜a≤4且a＞2，
即0＜a≤2，
综上a的取值范围是（0，2]．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用复合函数单调性之间的关系以及函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键．