Question

如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，在CC₁上求一点P，使面A₁B₁P⊥面C₁DE．

Answer 1

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，且P（0，2，a），分别求出面A₁B₁P与面C₁DE的法向量，然后根据面A₁B₁P⊥面C₁DE，则两法向量垂直建立等式，从而求出所求．

解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，且P（0，2，a），则

D1E

=(1，2，0)，

DC1

=(0，2，2)，
设

n1

=(x1，y1，z1)且

n1

⊥平面DEC₁，则

x1+2y1=0 y1+z1=0

，取

n1

=(2，-1，1)． 
又

A1P

=(-2，2，a-2)，

A1B1

=(0，2，0)，
设

n2

=(x2，y2，z2)且

n2

⊥平面A₁B₁P，则

-2x2+2y2+(a-2)z2=0 y2=0

，
取

n2

=(a-2，0，2)．            （8分）
由面A₁B₁P⊥面C₁DE，得

n1

•

n2

=0
即2（a-2）+2=0解得a=1．
故P为CC₁的中点．                                     （12分）

点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及利用空间向量的方法求解立体几何问题，同时考查了空间想象能力和运算求解的能力，属于中档题．