Question

2．设有关x的一元二次方程9x²+6ax-b²+4=0，若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，则上述方程有实根的概率1-$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意可得整体区域为长方形，满足题意的为{（a，b）|a²+b²≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}，求面积由概率公式可得．

解答 解：由方程9x²+6ax-b²+4=0有实根得△=36a²-36（-b²+4）≥0，∴a²+b²≥4，
a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2，
∴构成“9x²+6ax-b²+4=0有实根”这一事件的区域为{（a，b）|a²+b²≥4，0≤a≤3，0≤b≤2}（图中阴影部分）．
∴此时所求概率为$\frac{{2×3-\frac{1}{4}π×{2^2}}}{2×3}=1-\frac{π}{6}$．
故答案为：1-$\frac{π}{6}$

点评 本题考查简单几何概型，涉及方程根的存在性和圆的面积公式，属中档题．