Question

11．如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4095个正方形，设初始正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则最小正方形的边长为$\frac{1}{64}$．

Answer 1

分析 正方形的边长构成以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为首项，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公比的等比数列，利用共得到4095个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项公式，即可求最小正方形的边长．

解答 解：由题意，正方形的边长构成以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为首项，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为公比的等比数列，
现已知共得到4095个正方形，则有
1+2+…+2^n-1=4095，
∴n=12，
∴最小正方形的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^12-1=$\frac{1}{64}$，
故答案为：$\frac{1}{64}$

点评 本题以图形为载体，考查等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模型，正确利用相应的公式．