Question

1．已知椭圆x²+2y²=8的两个焦点分别为F₁、F₂，A为椭圆上任意一点，AP是△AF₁F₂的外角平分线，且$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}$=0，则点P的轨迹方程为x²+y²=8．

Answer 1

分析 根据等腰三角形“三线合一”，得到|MP|=|F₂P|，从而|PF₁|+|PF₂|=|MF₁|，结合椭圆的定义可得|MF₁|=2a，运用中位线定理，即可得到动点P的轨迹对应的图形．

解答 解：椭圆x²+2y²=8，即为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
可得a=2$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{{F_2}P}$=0，可得$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{{F}_{2}P}$，
延长F₁A和F₂P交于M，连接OP，
可得|MP|=|F₂P|，即有|PF₁|+|PF₂|=|AM|+|AF₂|=|MF₁|，
根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{2}$，
∴|MF₁|=4$\sqrt{2}$，
由中位线定理可得|OP|=$\frac{1}{2}$|MF₁|=2$\sqrt{2}$，
因此，点P的轨迹是以点O为圆心，半径为2$\sqrt{2}$的圆x²+y²=8．
故答案为：x²+y²=8．

点评 本题给出椭圆上动点A，求点P的轨迹方程，着重考查了椭圆的定义和简单几何性质，以及等腰三角形“三线合一”等知识，属于中档题．