Question

16．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点P（$\sqrt{6}$，1），O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率及过点P（$\sqrt{6}$，1），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质，结合已知条件能求出|AB|的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点P（$\sqrt{6}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
y1y2=（ kx1+m ） （ kx2+m ）=k2x1x2+km （ x1+x2）+m2=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，∴3m²-8k²-8=0，∴k2=$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$≥0
又 8k²-m²+4＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}＞2}\\{3{m}^{2}≥8}\end{array}\right.$，∴m²≥$\frac{8}{3}$，∴m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又y=kx+m与圆心在原点的圆相切，
∴r=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}}{1+\frac{3{m}^{2}-8}{8}}$=$\frac{8}{3}$，r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴所求圆：x2+y2=$\frac{8}{3}$，
当切线斜率不存在时，切线为x=±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
与椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1交于（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$±\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
满足OA⊥OB，
综上：存在这样的圆x2+y2=$\frac{8}{3}$满足条件，
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{32（4{k}^{4}+5{k}^{2}+1）}{3（4{k}^{4}+4{k}^{2}+1）}}$=$\sqrt{\frac{32}{3}（1+\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+4{k}^{2}+1}）}$，
当k≠0时，|AB|=$\sqrt{\frac{32}{3}（1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}）}$，
∴$\frac{4\sqrt{6}}{3}＜$|AB|$≤2\sqrt{3}$（当k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号）
当k=0时，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
当k不存时，|AB|=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴|AB|∈[$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的圆是否存在的判断及弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆的性质、椭圆性质的合理运用．