Question

6．已知$\overrightarrow a=（sinωx，sin（ωx+\frac{π}{2}）），\overrightarrow b=（sinωx，\sqrt{3}sinωx）$（ω＞0），记f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）在区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量数量积的坐标运算结合辅助角公式化简，再由周期求得ω，则函数解析式可求，由此求得f（x）的最大值及取得最大值时x的集合；
（2）由x得范围求得相位的范围，进一步求得f（x）在区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$si{n}^{2}ωx+\sqrt{3}sinωxsin（ωx+\frac{π}{2}）$
=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，此时$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，即$x=\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$．
∴使f（x）取得最大值时x的集合为{x|$x=\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$}；
（2）由（1）得f（x）=sin（2x$-\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∵0$≤x≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
因此0≤$sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}≤\frac{3}{2}$，
即f（x）的取值范围为[0，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了平面向量数量积的坐标运算，是中档题．