Question

16．设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+4y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（I）证明：a²＞$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer 1

分析 （I）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，y=k（x+1）可化为x=$\frac{y}{k}$-1，代入椭圆方程，运用判别式大于0，即可得证；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用韦达定理和向量共线的坐标表示，运用三角形的面积公式，由不等式的性质可得S=$\frac{1}{2}$|OC|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$|y₂|=$\frac{3|k|}{{1+4{k^2}}}≤\frac{3|k|}{4|k|}=\frac{3}{4}$，再议等号成立的条件，可得a，进而得到椭圆方程．

解答 解：（I）证明：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，
故y=k（x+1）可化为x=$\frac{y}{k}$-1，
将x=$\frac{y}{k}$-1代入x²+4y²=a²，得（$\frac{1}{{k}^{2}}$+4）y²-$\frac{2}{k}$y+1-a²=0，①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，
得△=$\frac{4}{{k}^{2}}$-4（$\frac{1}{{k}^{2}}$+4）（1-a²）＞0，
整理得（$\frac{1}{{k}^{2}}$+4）a²＞4，
即a²＞$\frac{4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由①，得y₁+y₂=$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，即y₁=-2y₂，代入上式，得y₂=-$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$，
于是，△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|OC|•|y₁-y₂|
=$\frac{3}{2}$|y₂|=$\frac{3|k|}{{1+4{k^2}}}≤\frac{3|k|}{4|k|}=\frac{3}{4}$，
其中，上式取等号的条件是4k²=1 即k=$±\frac{1}{2}$时，
由${y_2}=\frac{-2k}{{1+4{k^2}}}$，可得y₂=$±\frac{1}{2}$，
将k=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$及 k=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$，
这两组值分别代入①，均可解出a²=5．
所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x²+3y²=5．

点评 本题考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0，考查向量共线的坐标表示，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．