2015年春晚过后.为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系.某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计.得到如下数据:上春晚次数x246810粉丝数量y10204080100(Ⅰ)若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程.试求回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$+$\widehat{a}$.并� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．2015年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：

上春晚次数x（单位：次）	2	4	6	8	10
粉丝数量y（单位：万人）	10	20	40	80	100

（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$+$\widehat{a}$，并就此分析：该演员上春晚12次时的粉丝数量；
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{x_i}（i=1，2，3，4，5）$表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：
（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；
（2）从“即时均值”中任选3组，求这三组数据之和不超过20的概率．
（参考公式：$\widehat{y}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$）

分析（I）根据回归系数公式计算回归系数，得到回归方程，并用回归方程进行数值估计；
（II）（1）求出5组即时均值，根据方差公式计算方差；
（2）利用古典概型的概率公式计算．

解答解：（Ⅰ）经计算可得：$\overline x=6$，$\overline y=50$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1980$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=220$，
所以：$\widehat{y}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$=12，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$=-22，
从而得回归直线方程$\widehat{y}$=12x-22．
当x=10时，$\widehat{y}$=12x-22=12×12-22=122．
该演员上春晚12次时的粉丝数量122万人．
（Ⅱ）经计算可知，这五组数据对应的“即时均值”分别为：5，5，7，10，10，
（1）这五组“即时均值”的平均数为：7.4，则方差为${S^2}=\frac{1}{5}[2×{（5-7.4）^2}+{（7-7.4）^2}+2×{（10-7.4）^2}]=5.04$；
（2）这五组“即时均值”可以记为A₁，A₂，B，C₁，C₂，从“即时均值”中任选3组，选法共有${C}_{5}^{3}$=10种情况，
其中不超过20的情况有（A₁，A₂，B），（A₁，C₁，C₂），（A₂，C₁，C₂）共3种情况，故所求概率为：$P=\frac{3}{10}$．

点评本题考查了利用最小二乘法求回归直线方程，结合回归直线方程进行预测，平均数、方差的计算，古典概型的计算．属于基础题．

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