Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B₁，B₂的连线分别与x轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，求|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），B₁（0，-2），B₂（0，2），求出直线MB₁，MB₂，从而求出P，Q两点坐标，由此能求出|OP|•|OQ|的值．

解答 解：设M（x₀，y₀），B₁（0，-2），B₂（0，2），
∴${k_{M{B_1}}}=\frac{{{y_0}+2}}{x_0}$，
∴${l_{M{B_1}}}：y+2=\frac{{{y_0}+2}}{x_0}•x$，
∵y=0，
∴${x_P}=\frac{{2{x_0}}}{{{y_0}+2}}$，
同理，${l_{M{B_2}}}：y+2=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}•x⇒{x_Q}=\frac{{2{x_0}}}{{{y_0}-2}}$，
∴$|OP|•|OQ|=|{x_P}|•|{x_Q}|=\frac{4x_0^2}{|y_0^2-4|}$，
∵$\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4}=1⇒4-y_0^2=\frac{4}{9}x_0^2$，
∴|OP|•|OQ|=9．

点评 本题考查两线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程、椭圆性质的合理运用．