Question

【题目】函数在R上为偶函数且在单调递减，若时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为( )

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化，利用参数分离法，结合函数的最值，利用导数求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．

∵函数f（x）为偶函数，

若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，

等价为f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（2mx﹣lnx﹣3）

即2f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）对x∈[1，3]恒成立．

即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．

∵f（x）在[0，+∞）单调递减，

∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，

即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，

即2m且2m对x∈[1，3]恒成立．

令g（x），则g′（x），在[1，e]上递增，在[e，3]上递减，则g（x）的最大值为g（e），

h（x），则h′（x）0，则函数h（x）在[1，3]上递减，则h（x）的最小值为h（3），

则，得，即m，

故选：B．