已知双曲线的中心为原点
,左、右焦点分别为
、
,离心率为
,点
是直线
上任意一点,点
在双曲线
上,且满足
.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线
的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为
,过点
作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
,在线段
上去异于点
、
的点
,满足
,证明点
恒在一条定直线上.
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
解析试题分析:(1)根据双曲线的离心率列方程求出实数的值;(2)设点
的坐标为
,点
的坐标为
,利用条件
确定
与
、
之间的关系,再结合点
在双曲线
上这一条件,以及斜率公式来证明直线
与直线
的斜率之积是定值;(3)证法一是先设点
、
的坐标分别为
、
,结合(2)得到
,
,引入参数
,利用
转化为相应的条件
,利用坐标运算得到点
的坐标所满足的关系式
,进而证明点
恒在定直线
上;证法二是设直线
的方程为
,将直线
的方程与双曲线的方程联立,结合韦达定理,将条件
进行等价转化为
,结合韦达定理化简为
,最后利用点
在直线
上得到
,从而消去
得到
,进而证明点
恒在定直线
上.
试题解析:(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为,由于
,解得
,
故双曲线的方程为
;
(2)设点的坐标为
,点
的坐标为
,易知点
,
则,
,
,因此点
的坐标为
,
故直线的斜率
,直线
的斜率为
,
因此直线与直线
的斜率之积为
,
由于点在双曲线
上,所以
,所以
,
于是有(定值);
(3)证法一:设点 且过点
的直线
与双曲线
的右支交于不同的两点
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆+
=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·
+
·
=8,求k的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为
,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2.若k≠0,试证明+
为定值,并求出这个定值.
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已知椭圆:
的离心率
,原点到过点
,
的直线的距离是
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆上一动点
关于直线
的对称点为
,求
的取值范围;
(3)如果直线交椭圆
于不同的两点
,
,且
,
都在以
为圆心的圆上,求
的值.
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已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是
∶1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB分别交椭圆C于另外两点A,B,求证:直线AB的斜率为定值.
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已知椭圆过点
,且离心率
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
相交于
,
两点(
不是左右顶点),椭圆的右顶点为
,且满足
,试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
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已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.
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已知椭圆、抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下:
、
、
、
.
(1)经判断点,
在抛物线
上,试求出
的标准方程;
(2)求抛物线的焦点
的坐标并求出椭圆
的离心率;
(3)过的焦点
直线与椭圆
交不同两点
且满足
,试求出直线的方程.
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已知椭圆的焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0),过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P,Q两点,且|PQ|=3.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.
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