Question

9．在数列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）b_n=a_n+1-2a_n，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）若b_n=a_n+1-2a_n，利用数列的递推关系，结合等比数列的定义，利用构造法即可证明数列{b_n}是等比数列；
（2）令${c}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，则${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{1}{2}$，¹利用作差法结合等差数列的定义即可得数列{c_n}是等差数列．

解答 解（1）证明：∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S_n+1=4a_n+1．两式作差得：S_n+1-S_n=4a_n+1-4a_n-1-1=4a_n-4a_n-1．
故a_n+1=4a_n-4a_n-1．即a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），
即b_n=2b_n-1，n≥2，则数列{b_n}是公比q=2的等比数列；
（2）由（1）知数列{a_n+1-2a_n}是公比q=2的等比数列；
∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．∴S₂=4a₁+1=4+1=5，
即1+a₂=5，解得a₂=5-1=4．则a₂-2a₁=4-2=2，
即数列{a_n+1-2a_n}的首项为2，则a_n+1-2a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
令${c}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，则${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{1}{2}$，即数列{c_n}是公差d=$\frac{1}{2}$，首项为$\frac{1}{2}$的等差数列．
∴${c}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，∴a_n=n•2^n-1

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的判断，利用数列的递推关系，进行变形是解决本题的关键．考查学生的推理能力．