Question

【题目】已知椭圆的中心为坐标原点，其离心率为，椭圆的一个焦点和抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的方程

（2）过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点，若存在，说出点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）定点

【解析】

试题分析：（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程；（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A ，B ，根据韦达定理求得和的表达式，代入的表达式中，求得，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

试题解析：（1）抛物线焦点的坐标为，则椭圆的焦点在轴上

设椭圆方程为

由题意可得，，，

∴ 椭圆方程为 ……3分

（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，

若直线垂直于轴，则以为直径的圆是

由即两圆相切于点 ……5分因此所求的点如果存在，只能是，事实上，点就是所求的点. ……6分

证明：当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点，若直线不垂直于轴，

可设直线： 设点，

由， ∴ ……9分

又 , ,

∴

……11分

∴ 即： 故以为直径的圆恒过点.

综上可知：在坐标平面上存在一个定点满足条件. ……12分